Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;-3), phương trình đường phân giác trong đỉnh B là x+y-2=0 và phương trình đường trung tuyến hạ từ đỉnh C là x+8y-7=0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;-3), phương trình đường phân giác trong đỉnh B là x+y-2=0 và phương trình đường trung tuyến hạ từ đỉnh C là x+8y-7=0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC
goi B(a; b) N( c; d)
\(N\in\left(CN\right)\Rightarrow\)c+8d-7 = 0(1)
N la trung diem AB\(\Rightarrow2c=1+a\left(2\right)\)
2d = -3 +b (3)
B\(\in\left(BM\right)\)\(\Rightarrow\)a+b -2 =0 (4)
tu (1) (2) (3) (4) \(\Rightarrow a=-5;b=7\Rightarrow B\left(-5;7\right)\)
dt (AE) qua vuong goc BM. \(\Rightarrow pt\)(AE):x-y-4 = 0
tọa độ H \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-4=0\\x+y-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(3;-1\right)\);H là trung điểm AE
\(\Rightarrow E\left(5;1\right)\). vì ptdt (BE) cung la ptdt qua (BC):
3x+5y-20 =0
tọa độ C là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}3x+5y-20=0\\x+8y-7=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{139}{21}\\\dfrac{1}{21}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow C\left(\dfrac{139}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)
Bài 2: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho AABC có M(0;5) là trung điểm cạnh BC. Đường thẳng
chứa cạnh AB, AC lần lượt có phương trình 2x +y-12 =0, x+4y-6=0. Tìm tọa độ 3 đỉnh của tam
giác ABC.
Do A là giao điểm AB, AC nên tọa độ thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x+y-12=0\\x+4y-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(6;0\right)\)
Do B thuộc AB nên tọa độ có dạng: \(B\left(b;-2b+12\right)\)
Do C thuộc AC nên tọa độ có dạng: \(C\left(-4c+6;c\right)\)
Do M là trung điểm cạnh BC nên theo công thức trung điểm:
\(\left\{{}\begin{matrix}b-4c+6=2.0\\-2b+12+c=2.5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b-4c=-6\\-2b+c=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}B\left(2;8\right)\\C\left(-2;2\right)\end{matrix}\right.\)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2; 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x+y+14=0; 2x+5y-2=0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
2.Lập phương trình các cạnh AB, AC của tam giác ABC biết đường tuyến CM có phương trình 2x+y-6=0, A(1; 1) và cạnh BC có phương trình x+y-6=0
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;1), đường cao BH có phương trình x - 3 y - 7 = 0 và trung tuyến CM có phương trình x + y + 1 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C
A. (-1;0)
B. (4;-5)
C. (1;-2)
D. (1;4)
Đáp án là B
Điểm C thuộc đường trung tuyến CM nên gọi tọa độ điểm C(x;-x;-1)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;1), đường cao BH có phương trình x - 3y - 7 = 0 và trung tuyến CM có phương trình x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C?
A. (-1;0)
B. (4;-5)
C. (1;-2)
D. (1;4)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (x-1)2+(y+2)2=10. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng x+3y-5=0
(x-1)^2+(y+2)^2=10
=>R=căn 10; I(1;-2)
Vì (d)//x+3y-5=0
nên (d): x+3y+c=0
Theo đề, ta có: d(I;(d))=can 10
=>\(\dfrac{\left|1\cdot1+3\cdot\left(-2\right)+c\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\sqrt{10}\)
=>|c-5|=10
=>c=15 hoặc c=-5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(-1;3) và B(3;1), C(2;-2)
a) Viết phương trình đường trung tuyến CM của tam giác ABC
b) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng (): 3x-y-2=0
c) Viết phương trình đường thẳng (d1), biết (d1) song song với (d2): x-2y-1=0 và (d1) tiếp xúc với (C1): x^2+y^2-6x+4y+8=0
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm J(4;0) và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến từ đỉnh A của tam giác ABC là d 1 : x + y – 2 = 0 và d 2 : x + 2 y - 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm C, biết B có tung độ dương.
A. C(3;-3).
B. C(7;1).
C. C(1;1).
D. C(-3;-9).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn, đỉnh A(-2;-1). Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD, CD. Phương trình đường tròn ngoại tiếp HKE là (C) : \(x^2+y^2+x+4y+3=0\). Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D biết H có hoành độ âm, C có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng \(x-y-3=0\)
Ta có \(\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^0\) nên 4 điểm A, H, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Ta có \(\widehat{HIE}=2\widehat{HAE}=2\left(180^0-\widehat{BCD}\right)\)
Các tứ giác AKED, AKHB nội tiếp nên \(\widehat{EKD}=\widehat{EAD}\) và \(\widehat{BKH}=\widehat{BAH}\)
Do đó \(\widehat{HKE}=180^0-\widehat{AKD}-\overrightarrow{BKH}=180^0-\overrightarrow{EAD}-\overrightarrow{BAH}=2\overrightarrow{HAE}=2\left(180^0-\overrightarrow{BCD}\right)=\overrightarrow{HIE}\)
Vậy tứ giác HKIE nội tiếp. Do đó I thuộc đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác HKE
- Gọi \(C\left(c;c-3\right)\in d\left(c>0\right)\Rightarrow I\left(\frac{c-2}{2};\frac{c-4}{2}\right)\)
Do I thuộc (C) nên có phương trình :
\(c^2-c-2=0\Leftrightarrow c=2\) V c=-1 (loại c=-1) Suy ra \(C\left(2;-1\right);I\left(0;-1\right)\)
- Điểm E, H nằm trên đường tròn đường kính AC và đường tròn (C) nên tọa độ thỏa mãn hệ phương trình :
\(\begin{cases}x^2+y^2+x+4y+3=0\\x^2+\left(y+1\right)^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0;y=-3\\x=-\frac{8}{5};y=-\frac{11}{2}\end{cases}\)
- Vì H có hoành độ âm nên \(H\left(-\frac{8}{5};-\frac{11}{5}\right);E\left(0;-3\right)\) Suy ra \(AB:x-y+1=0;BC:x-3y-5=0\)
Tọa độ B thỏa mãn \(\begin{cases}x-y+1=0\\x-3y-5=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow B\left(-4;-3\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(6;2\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=16>0\)
Vì \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow D\left(4;1\right)\)
Vậy \(B\left(-4;-3\right);C\left(2;-1\right);D\left(4;1\right)\)
trong mặt phẳng toạ độ oxy cho (C) : x^2+y^2-2x+4y-4=0. hãy viết phương trình của (C) qua Đoy
(C) : (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9
Vậy (C) có tâm I (1 ; - 2) và bán kính R = 3
Qua phép đối xứng qua trục Oy, tâm I biến thành I' (- 1 ; - 2)
Phương trình ảnh của (C)
(x + 1)2 + (y + 2)2 = 9